Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beim Alternativtest berechnen

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Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beim Alternativtest berechnen

Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art gehört zum eher anspruchsvollen Themenbereich rund um Nullhypothesen. Sie gehört zusammen mit der Bestimmung eines Fehlers 1. Art hier zu den einfacheren Aufgabentypen. Sie laufen auf das Nachschlagen einer kumulierten Wahrscheinlichkeit bzw. deren Bestimmung mit einem graphikfähigen Taschenrechner hinaus.

Aufgabe zum Fehler 2. Art

Um die Wirksamkeit einer Wahlkampagne zu beurteilen, gibt eine Partei eine neue Umfrage in Auftrag, aus der hervorgehen soll, ob der Anteil $p$ ihrer Unterstützer in der Gemeinde seither über dem vorherigen Umfragewert von $30\,\%$ gestiegen ist oder nicht.

Als Nullhypothese wird $p>0{,}3$ genommen und sie wird als bestätigt angesehen, wenn unter den 100 Befragten mindestens 31 die genannte Partei unterstützen.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art, wenn in Wirklichkeit $p=0{,}2$ gilt.

Hintergrundwissen und Lösungsansatz

Sowohl beim Fehler 1. als auch beim Fehler 2. Art liegt eine Binomialverteilung vor, deren Parameter $p$ mit einer Stichprobe untersucht wird. deren tatsächlicher Wert ist aber vorgegeben. Das bedeutet, dass du den kompletten Sachverhalt, in den die Aufgabe eingebettet ist, im Prinzip vergessen kannst, so lange du entweder den Annahmebereich oder den Ablehnungsbereich der Nullhypothese kennst. Die Festlegung dieser Bereiche zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau ist typischerweise eine Aufgabe, die der Bestimmung einer Fehlerwahrscheinlichkeit 1. oder 2. Art vorausgeht. Siehe hierzu unser Video Entscheidungsregel beim Alternativtest.

Was du dir grundsätzlich merken musst, ist die Definition für einen Fehler 1. Art und für einen Fehler 2. Art:

    Ein Fehler 1. Art ist eine irrtümliche Ablehnung der Nullhypothese.
    Ein Fehler 2. Art ist eine irrtümliche Annahme der Nullhypothese.
Strategie: Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs nachschlagen

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art, d. h. einer irrtümlichen Annahme der Nullhypothese. Die Entscheidungsregel in der Aufgabenstellung besagt, dass die Nullhypothese angenommen wird, wenn mindestens 31 von 100 Befragten die Partei unterstützen.

Der Annahmebereich ist also $\{31;\dots;100\}$. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass die Anzahl $X$ der Unterstützer in der Stichprobe in diesem Bereich liegt, obwohl sie insgesamt nur $20\,\%$ der Gemeinde ausmachen.

$P(X\in\{31;\dots;100\})=P(X\geq 31)$ können wir nicht direkt nachschlagen, denn in den Tabellen sind nur die Werte von $P(X\leq k)$ für verschiedene $k$ aufgeführt. Mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit kommen wir weiter:

$P(X\geq 31)=1-P(X\leq 30)$.

$P(X\leq 30)$ können wir nachschlagen. In der Binomialverteilungstabelle mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten für den Parameter $n=100$ (Stichprobenumfang) findet sich eine Spalte für den Parameter $p=0{,}2$ (vorgegebener wahrer Anteil der Unterstützer in der Gemeinde), der in der Tabelle rot hinterlegt ist. In der grün markierten Zeile für $k=30$ findet man die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 30)$:

Laut Tabelle ist also $P(X\leq 30)\approx 0{,}9939$ und somit
$P(Annahme\, der \,Nullhypothese)= P(X\geq 31) \\
= 1-P(X\leq 30)\\
\approx 1 – 0{,}9939 \\
=0{,}0061\\
\approx 0{,}6\,\%$

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt etwa $0{,}6\,\%$.

 

 
 
 
 

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