Wertebereich bestimmen (einfache Fälle)

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Wertebereich bestimmen (einfache Fälle)

Definition: Wertebereich

Der Wertebereich einer Funktion, oder auch Wertemenge genannt, ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt. Oder anders gesagt: Er bezeichnet die Menge an möglichen $y$-Werte, die die Funktion im angegebenen Definitionsbereich annehmen kann. Den Wertebereich einer Funktion zu bestimmen ist am einfachsten, wenn die Variable nur einmal im Funktionsterm vorkommt. In diesem Video erfährst du in weniger als 2 Minuten, wie das funktioniert.
Aufgabe

Bestimme den Wertebereich der Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto 3\sin(x)-1$.
Lösungsansatz

Zum Aufgabentyp Wertebereich bestimmen gibt es im Abitur zwei Methoden. Die erste brauchst du für den einfachen Fall, wenn die Variable, wie in dieser Aufgabe, nur einmal auftaucht. Taucht die Variable mehrfach auf, musst du die Differentialrechnung anwenden, den Steigungsverlauf der Funktion unter die Lupe nehmen und das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs untersuchen. Eine Anleitung hierzu findest du im Video Wertemenge bei mehrfach vorkommender Variable. In jedem Fall aber solltest du die Wertebereiche der folgenden Standardfunktionen auswendig wissen: Sinusfunktion bzw. Kosinusfunktion, Exponentialfunktion und quadratische Funktion.

Funktion Wertemenge
$x \mapsto sin x$ bzw. $x \mapsto cos x$ $[-1;1]$
$x \mapsto x^x$ $]0;\infty[$
$x^2$ $[0;\infty[$

Typische Beispiele für den einfachen Fall sind:

  • nach oben verschobene Normalparabel, z. B. $x\mapsto x^2+1$
  • gestreckte trigonometrische Funktion, z. B. $x\mapsto 2\cos(x)$

Strategie: Funktionsterm von innen nach außen auswerten

Hier nutzt du dein wissen über den Zusammenhang zwischen Graph und Funktionsterm und dein Wissen über Verschiebung und Streckung und deren Auswirkungen.

Du löst diese Aufgabe, indem du den Funktionsterm von innen nach außen auswertest. Das heißt, im Funktionsterm $f(x)=3\sin(x)-1$ musst du die Verschachtelung von innen nach außen auflösen, angefangen mit der Variable $x$, die den Definitionsbereich von $f$ (also ganz $\mathbb{R}$) durchläuft. In jedem Schritt notierst du, was mit dem Wertebereich passiert:
Als erstes wird $x$ durch die Sinusfunktion geschleust. Wenn $x$ alle reellen Zahlen durchläuft, dann nimmt die Sinusfunktion alle Werte im Intervall $[-1;1]$ an. Als nächstes wird der Term $\sin(x)$ mit $3$ multipliziert. Dadurch streckt sich der Wertebereich um den Faktor $3$, d. h. aus $[-1;1]$ wird $[-3;3]$. Schließlich wird vom Term $3\sin(x)$ die Zahl $1$ abgezogen. Das verschiebt die Wertemenge um eine Einheit nach unten, d. h. aus $[-3;3]$ wird $[-4;2]$.

Lösung

Die Funktion $f$ den Wertebereich $W_f=[-4;2]$.

 

 
 
 
 

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