Wertemenge bei mehrfach vorkommender Variable bestimmen

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Cara F. am 29.08.2018

Mathe-Vorkurs gerettet!! Danke! Wusste gar nix mehr vom Abi ?

 
 

Wertemenge bei mehrfach vorkommender Variable bestimmen

Wertemenge bei mehrfach auftretender Variable

Die Wertemenge einer Funktion ist schwieriger zu bestimmen, wenn die Variable im Funktionsterm mehrfach vorkommt.
Anders als beim klassischen Fall, s. dazu das Video Wertebereich bestimmen (einfache Fälle), lässt sich die Wertemenge nicht durch Streckung oder Verschiebung einer Funktion mit bekanntem Wertebereich herleiten. Stattdessen musst du über den Steigungsverlauf die Hoch- und Tiefpunkte bestimmen und schließlich das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs untersuchen, um aus diesen Daten die Wertemenge zu bestimmen.
Beispiel-Aufgabe

Bestimme die Wertemenge der Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $f(x)=e^x-x$.

Die Variable $x$ tritt hier doppelt auf, nämlich einmal als Exponent und einmal als Summand.

Schritt 1: Extrema bestimmen

Zunächst machen wir uns ein Bild davon, wo die Funktion steigt und wo sie fällt. Dazu bilden wir die 1. Ableitung.

$f(x)=e^x-x\dann f'(x)=e^x-1$

Über das Vorzeichen der Ableitung können wir Rückschlüsse auf das Monotonieverhalten, d. h. auf den Steigungsverlauf von $G_f$ ziehen.

$G_f$ ist streng monoton fallend, wenn $f'(x)<0$ ist, also wenn $e^x-1<0 \Leftrightarrow e^x<1\\ \Leftrightarrow x<\ln(1)=0$ gilt. Dieselbe Rechnung mit "$=$" bzw. "$>$“ statt „‚$<$" führt zu folgender Übersicht: $x<0 \Rightarrow f'(x)<0$, $x=0 \Rightarrow f'(x)=0$, $x>0 \Rightarrow f'(x)>0$

Somit hat $G_f$ bei $x=0$ ein globales Minimum. Der kleinste Funktionswert ist somit (also die untere Grenze der Wertemenge) ist somit $f(0)=e^0-0=1$.

Schritt 2: Grenzwerte untersuchen

Nachdem wir damit die untere Grenze der Wertemenge ermittelt haben, müssen wir im zweiten Schritt prüfen, ob die Funktion unbeschränkt wächst und hätte somit als Wertemenge alle reellen Zahlen $\leq 1$ oder der Graph flacht an den Seiten ab und hat ein endliches halboffenes Intervall als Wertemenge. Mit der Regel von de l’Hospital können wir nachweisen, dass ersteres der Fall ist und die Funktion $f$ alle Werte im Intervall $[1;\infty[$ annimmt.
Lösung

Die Funktion $f$ hat also die Wertemenge $W_f=[1;\infty[$

 

 
 
 
 

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