Winkel zwischen Vektoren berechnen

Winkel zwischen Vektoren berechnen ist eine häufig gefragte Anwendung des Skalarprodukts im Abitur. Die Berechnung räumlicher Winkel, z. B. zwischen Geraden und Ebenen ist nichts anderes als die Berechnung von Winkeln zwischen zwei Vektoren. Für den Winkel zwischen Vektoren gibt es eine feste Formel, die du auswendig wissen solltest. Die Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ lautet wie folgt:

$\displaystyle\cos\left(\sphericalangle(\vec{v},\vec{w})\right)=\frac{\vec{v}\circ\vec{w}}{|\vec{v}|\cdot|\vec{w}|}$

Um sie anzuwenden, berechnest du zunächst das Skalarprodukt $\vec{v}\circ\vec{w}$ der beteiligten Vektoren und deren Längen $|\vec{v}|$ und $|\vec{w}|$.

Aufgabe

Es wird ein Bauplan für ein Haus erstellt, zu dem die folgende Skizze des Daches gehört:

Das Dach ist ein gerades Prisma. Welchen Winkel bilden die beiden Dachschrägen miteinander?

Lösungsansatz

Nachdem die vordere Fassade senkrecht auf beiden Dachschrägen steht (da es sich um ein gerades Prisma mit der dreieckigen Fassade als Grundfläche handelt}, ist der gesuchte Winkel nichts anderes als der Winkel zwischen den Verbindungsvektoren $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CB}$.
Da in dieser Aufgabe die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CB}$ nicht direkt vorgegeben sind, musst du sie zunächst aus den Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte berechnen, siehe hierzu ggf. das Video Vektoraddition.

Schritt 1: Skalarprodukt und Längen berechnen

Um die oben angegebene Formel für den Winkel zwischen Vektoren anzuwenden, berechnest du zunächst das Skalarprodukt $\vec{v}\circ\vec{w}$ der beteiligten Vektoren und deren Längen $|\vec{v}|$ und $|\vec{w}|$.

In unserem Fall ist der erste Vektor der Verbindungsvektor der Punkte $C$ (vordere obere Spitze des Daches) und $A$ (linke Ecke der vorderen Fassade).
$\vec{v}=\overrightarrow{CA}= \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\-2{,}5\end{array}\right)$

Der zweite Vektor ist der Verbindungsvektor der Spitze $C$ mit der anderen Fassadenecke $B$:
$\vec{w}=\overrightarrow{CB}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\-2{,}5\end{array}\right)$

Jetzt berechnen wir die drei Größen, die wir für die Formel für den Winkel zwischen Vektoren brauchen:
1) Das Skalarprodukt

$\vec{v}\circ\vec{w}=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\-2{,}5\end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\-2{,}5\end{array}\right) = -2{,}75$
Tipp: Wäre das Skalarprodukt gleich null, könntest du dir die folgenden Rechnungen sparen.
Es gilt nämlich folgende wichtige Merkregel:
Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren null ist, dann stehen sie senkrecht aufeinander.

Es gilt natürlich auch die Umkehrung:
Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, dann ist ihr Skalarprodukt gleich null.
2) und 3) Die Länge von $\vec{v}$ und die Länge von $\vec{w}$
Wie du die Länge eines Vektors berechnest, erfährst du im Video Betrag eines Vektors berechnen.

$|\vec{v}| = \sqrt {15{,}25}$
$|\vec{w}| = \sqrt {15{,}25}$

Schritt 2: Formel für den Winkel zwischen Vektoren anwenden

Die eben berechneten Größen können wir jetzt in die Formel für den Winkel zwischen Vektoren einsetzen und erhalten
$\begin{align*}
\cos\left(\sphericalangle(\vec{v},\vec{w})\right)&=\frac{\vec{v}\circ\vec{w}}{|\vec{v}|\cdot|\vec{w}|}\\
&=\frac{-2{,}75}{\sqrt{15{,}25}\cdot\sqrt{15{,}25}}\\
&=-\frac{2{,}75}{15{,}25}\\
&\approx -0{,}18,
\end{align*}$

also ist der gesuchte Winkel $\alpha\approx\cos^{-1}(-0{,}18)\approx 100{,}4^\circ$.

Lösung

Die Dachschrägen schließen einen Winkel von $100{,}4^\circ$ ein.