Zeigen, dass Gerade in Ebene (Koordinatenform) liegt

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Zeigen, dass Gerade in Ebene (Koordinatenform) liegt

Der Fall „Gerade in Ebene“ ist eine Möglichkeit, wenn man die Lagebziehung zwischen Geraden und Ebenen untersucht. Zu zeigen, dass eine Gerade in einer Ebene liegt, also in ihr enthalten ist, gelingt am einfachsten, wenn die Ebene in Koordinatenform vorliegt. Hier brauchst du nur die Teilgleichungen der Gerade für die drei Koordinaten $x$, $y$ und $z$ in die Ebenengleichung einzusetzen und festzustellen, dass sich unabhängig vom Parameter $\lambda$ immer eine wahre Aussage ergibt.
Zum Thema „Zeigen, dass Gerade in Ebene (in Koordinatenform) liegt“, sehen wir uns folgende Beispiel-Aufgabe an:
Gegeben seien eine gerade $g$ und eine Ebene $E$ durch
$g: \overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\0 \\1\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\1\\ 0\end{array}\right), \lambda \in \mathbb{R}$
$E: 2x-2y+z=3$.
Prüfe, ob die Gerade $g$ ganz in der Ebene $E$ verläuft.

Strategie: Rechte Seite der Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen

Die Geradengleichung $g: \overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\0 \\1\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\1\\ 0\end{array}\right), \lambda \in \mathbb{R}$ besteht aus drei Teilgleichungen, eine für jede der Koordinaten $x$, $y$ und $z$:
$x= 1+\lambda \cdot 1$
$y=0+\lambda \cdot 1$ und
$z=1+\lamda \cdot 0$,

oder vereinfacht:
$x=1+\lambda$,
$y=\lamda$ und
$z=1$.

Diese drei Gleichungen setzt du in die Ebenengleichung $E: 2x-2y+z=3$ und erhältst:
$2(1+\lambda)-2\cdot \lambda +1=3$ ⇔ $2+2\cdot \lambda -2\lambda +1 =3$ ⇔ $2+1=3$

Diese Gleichung ist für jedes $\lambda \in \mathbb{R}$ erfüllt, also befindet sich jeder Punkt der Gerade $g$ auf der Ebene $E$, d.h. die Gerade verläuft ganz in der Ebene. Somit ist gezeigt dass die Gerade in der Ebene liegt.

Der etwas kompliziertere Fall, bei dem die Ebene in Parameterform vorliegt, wird in einem eigenen Video behandelt.

 

 
 
 
 

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