Dreieck

Bezeichnungen im allgemeinen Dreieck
Linien im allgemeinen Dreieck
Arten von Dreiecken
Berechnung des Umfangs
Berechnung der Fläche
Rechtwinklige Dreiecke
Satz des Pythagoras
Kathetensatz des Euklid
Höhensatz des Euklid

 
Bezeichnungen im allgemeinen Dreieck

Eine geometrische Figur mit drei Ecken wird als Dreieck bezeichnet.
Die drei Eckpunkte in einem Dreieck werden in der Regel mit A, B und C bezeichnet.
Die Seiten werden a, b und c genannt.
Die Benennung der Punkte erfolgt gegen den Uhrzeigersinn.
Dabei liegt die Seite a gegenüber von Punkt A, die Seite b liegt gegenüber von Punkt B und die Seite c liegt gegenüber von Punkt C.

Die Höhe eines Dreiecks wird h genannt.

Die Winkel benennt man mit den griechischen Buchstaben α, β und γ.
Der Winkel α liegt im Punkt A und wird von den Seiten b und c eingeschlossen.
Der Winkel β liegt im Punkt B und wird von den Seiten a und c eingeschlossen.
Der Winkel γ liegt im Punkt C und wird von den Seiten a und b eingeschlossen.

Weil diese Winkel im Dreieck liegen, nennt man sie Innenwinkel.
Die Winkelsumme der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180°, (sprich: „180 Grad“).
Wenn man also die Werte aller Winkel zusammenzählt, erhält man 180° (α + β + γ = 180°).

 
Linien im allgemeinen Dreieck
Höhe

Eine Höhe ist eine Lotstrecke durch einen Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite im Dreieck.
Das bedeutet, dass von einem der Eckpunkte aus eine Strecke zur gegenüberliegenden Seite gezeichnet wird. Diese Strecke wird so gezeichnet, dass sie mit der Seite des Dreiecks einen 90-Grad-Winkel eingeht.
Die Seite, auf der die Höhe steht, nennt man die Grundseite des Dreiecks. Man kann von jeder der drei Ecken aus eine Höhe einzeichnen, es gibt also drei Höhen in einem Dreieck.

Falls die Höhe die gegenüberliegende Seite nicht erreichen kann, kann man die Seite entsprechend erweitern:

Im Dreieck schneiden sich die Höhen alle in einem Punkt. In der nachfolgenden Skizze sind die drei Höhen orangefarben eingezeichnet.

Seitenhalbierende

Seitenhalbierende sind Strecken, die von einem Eckpunkt im Dreieck zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite gehen. Sie schneiden sich ebenfalls in einem Punkt. In der nachfolgenden Skizze sind die drei Seitenhalbierenden orangefarben eingezeichnet.

Winkelhalbierende

Winkelhalbierende sind Halbgeraden, die einen Winkel im Dreieck in zwei Hälften teilen.
Ihre Anfangspunkte liegen auf einem Eckpunkt des Dreiecks, und sie teilen den Innenwinkel in diesem Punkt in zwei gleich große Teile.
In der nachfolgenden Skizze sind die drei Winkelhalbierenden orangefarben eingezeichnet.

Mittelsenkrechte

Eine Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht zu einer Strecke verläuft und diese in der Mitte teilt.
Im Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten der Seiten in einem Punkt. Dieser bildet den Umkreismittelpunkt des Dreiecks.

 
Arten von Dreiecken

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Dreiecke einzuteilen:

 

Nach Winkeln:

  • spitzwinkliges Dreieck
  • rechtwinkliges Dreieck
  • stumpfwinkliges Dreieck
  •  

    Nach Seitenlängen:

  • unregelmäßiges Dreieck
  • gleichschenkliges Dreieck
  • gleichseitiges Dreieck
  •  

    Einteilung nach Winkeln
    In einem spitzwinkligen Dreieck sind alle Winkel kleiner als 90°.
    In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt ein Winkel 90°. Für rechtwinklige Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras.
    Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist der Winkel gegenüber der längsten Seite stumpf, das heißt, er liegt zwischen 90° und 180°.

     

    Einteilung nach Seitenlängen
    Ein unregelmäßiges Dreieck hat drei unterschiedlich lange Seiten und drei unterschiedlich große Winkel.
    Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten. Alle Winkel in diesem Dreieck sind gleich groß und betragen 60°.
    Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleich lange Seiten. Die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel sind hierbei gleich groß.

     

    Besondere Dreiecke
    Rechtwinklige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke werden auch als besondere Dreiecke bezeichnet, weil jedes dieser Dreiecke eine Besonderheit hat:

  • einen rechten Winkel oder
  • drei gleich lange Seiten und drei gleich große Winkel oder
  • zwei gleich lange Seiten und zwei gleich große Winkel.
  •  

    In Übungen und Aufgaben wird meistens mit den besonderen Dreiecken gerechnet und konstruiert.

     
    Berechnung des Umfangs

    Zur Berechnung des Umfangs eines Dreiecks zählt man alle Seitenlängen zusammen:

    $U_{\text{Dreieck}} = a + b + c$

     
    Berechnung der Fläche

    Flächen von Dreiecken berechnet man mithilfe der Höhe h.
    Man bildet zu einer Seite des Dreiecks eine Senkrechte, die zum Eckpunkt gegenüber führt. Bildet man die Höhe auf der Seite c, führt die Senkrechte also zum Punkt C. Die Seite, auf der man die Höhe bildet, nennt man Grundseite g.
    Um die Fläche zu berechnen, multipliziert man jetzt die Länge der Grundseite g mit der Länge der Höhe h.
    Danach teilt man das Ergebnis durch zwei und hat die Fläche des Dreiecks.

    $A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}  (g \cdot h)$

    Die Höhe h teilt ein Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.

    Für die Berechnung der Fläche von rechtwinkligen Dreiecken gilt:

    $A_{\text{rechtwinkliges Dreieck}}=\frac{1}{2}  (a \cdot b)$

    Die Höhe h teilt die Hypotenuse c (siehe Fachbegriffe unten) auch ein in die beiden Abschnitte p und q.

    $h²=p \cdot q$

    Um fehlende Angaben in Dreiecken zu berechnen, ist es meistens hilfreich, rechtwinklige Dreiecke zu suchen.

     

    Rechtwinklige Dreiecke
    Fachbegriffe

    Rechtwinklige Dreiecke sind Dreiecke, bei denen ein Winkel die Größe von 90° hat. Rechtwinklige Dreiecke haben besondere Eigenschaften.
    Für sie gelten besondere Formeln, die die Berechnung leichter machen. Zu diesen Formeln gehört der Satz des Pythagoras.

    In einem rechtwinkligen Dreieck bekommen die Seiten besondere Namen:
    Die Seite gegenüber des rechten Winkels heißt Hypotenuse und wird fast immer mit c bezeichnet.
    Die anderen beiden Seiten heißen Kathete a und Kathete b.

    Flächenberechnung im rechtwinkligen Dreieck

    Wenn man ein rechtwinkliges Dreieck verdoppelt, bekommt man ein Rechteck. Das bedeutet, dass die Fläche eines Rechtecks genau doppelt so groß ist, wie die des rechtwinkligen Dreiecks.
    Da man die Fläche eines Rechtecks mit $A_{\text{Rechteck}}$ = a ∙ b berechnen kann, ist die Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben durch:

    $A_{\text{rechtwinkliges Dreieck}}=\frac{1}{2}  (a \cdot b)$

    Beispiel 1:
    Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seitenlängen a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm. Gesucht ist die Fläche des Dreiecks.

    $A_{\text{rechtwinkliges Dreieck}}=\frac{1}{2} (a \cdot b) $

    $\Rightarrow$$A= \frac{1}{2} (3 cm · 4cm)}=\frac{1}{2} \cdot 12cm^2=6cm² $

    Beispiel 2:
    Ein Dreieck sei gegeben mit den Seiten a = 4 cm, b = 6 cm und der Höhe h = 4 cm auf der Seite a. Gesucht ist die Fläche des Dreiecks.

    $A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2} (g \cdot h)$

    $\Rightarrow$$A= \frac{1}{2} (4cm \cdot 4cm)=\frac{1}{2} \cdot 16cm^2=8cm²$

     
    Satz des Pythagoras

    Zur Berechnung von Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken wird der Satz des Pythagoras verwendet.

    Er lautet: $a² + b² = c²$.

    Mit dem Satz des Pythagoras kann man fehlende Seitenlängen in einem Dreieck berechnen.

    Beispiel:
    Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 3 cm und b = 4 cm. Gesucht ist die Hypotenuse c.

    a² + b² = c²
    $\Rightarrow$ (3 cm)² + (4 cm)² = c²
    $\Rightarrow$ 9 cm² + 16 cm² = 25 cm²
    $\Rightarrow$ c² = 25 cm²
    $\Rightarrow$ c = $\sqrt{25cm^2}$ = 5 cm

    Im Folgenden werden zwei weitere Sätze betrachtet, die dazu dienen, Längen in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen. Die Hypotenuse c wird, wie die Abbildung unten verdeutlicht, durch ihre Höhe in zwei Abschnitte unterteilt. Diese werden als Hypotenusenabschnitte q und p bezeichnet.

     
    Kathetensatz des Euklid

    Hierbei gilt: $\text{a}^2 = \text{p} \cdot \text{c}$ und $\text{b}^2 = \text{q} \cdot \text{c}$

    Beispiel: Berechne die fehlende Größe.

    $\text{p} \cdot \text{c} = \text{a}^2 | : \text{c}$

    $\text{p} = \frac{\text{a}^2}{\text{c}} = \frac{12^2}{15} = \frac{48}{5}$

     
    Höhensatz des Euklid

    Hierbei gilt: $\text{h}^2 = \text{p} \cdot \text{q}$

    Beispiel: Berechne die fehlende Größe.

    $\text{p} \cdot \text{q} = \text{h}^2 | : \text{p}$
    $\text{q} = \frac{h^2}{p} = \frac{12^2}{16} = 9$

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