Volumen eines Quaders berechnen

 

Volumen eines Quaders berechnen

Volumen Quader gleich Länge mal Breite mal Höhe. In diesem Video wird erklärt, wie man das Volumen (auch Rauminhalt genannt) eines Quaders berechnet. Der Quader ist ein Körper mit 8 Ecken, 6 Flächen und 12 Kanten. Beim Quader sind alle Flächen Rechtecke. Alle gegenüberliegenden Flächen sind gleich groß. Der Quader ist ein besonderes Prisma.
Beim Quader sind alle gegenüberliegenden Kanten gleich lang. Es gibt also höchstens drei unterschiedlich lange Kanten. Diese Kanten, die sich an einer Ecke berühren, werden als a, b und c bezeichnet.
Die Körperhöhe h ist genauso groß wie die Kantenlänge c. Die Berechnungsformel kann man durch Abzählen der Einheitswürfel (alle Kanten haben die Länge 1), die in den Quader passen, anschaulich nachvollziehen. Der Lösungscoach visualisiert die Volumenformel und die Herleitung noch einmal anschaulich. Das Volumen eines Quaders berechnet sich in zwei Schritten. Zunächst wird die Grundfläche berechnet, anschließend mit der Höhe multipliziert. Daraus ergibt sich die Volumenformel für Quader:
$V_{Quader}= a \cdot b \cdot c$ (sprich Volumen Quader ist gleich Länge mal Breite mal Höhe).

Sehen wir uns dazu eine Beispielaufgabe an. Berechnen Sie das Volumen eines Quaders mit den Kantenlängen 10 cm, 8 cm und 6 cm.
Diese Aufgabe behandelt den einfachsten Fall einer Volumenberechnung, nämlich das Volumen eines Quaders, dessen Längen alle ganzzahlig und in der gleichen Einheit vorgegeben sind.
Das Volumenmaß eines Quaders gibt an, wie viele Einheitswürfel hineinpassen. In unserem Fall sind alle Maße in Zentimetern gegeben, so dass ein Einheitswürfel hier 1 cm lang, 1 cm breit und 1 cm hoch ist: Zuerst bestimmt man aus Länge und Breite die Grundfläche des Quaders. Der Quader ist 10 cm lang, also passen 10 Einheitswürfel entlang der vorderen Kante. Der Quader ist 8 cm breit, also passen 8 Stangen zu je 10 Würfeln auf die Grundfläche. Die Grundfläche ist somit 10 mal 8 Flächeneinheiten groß. Das entspricht Länge mal Breite des Quaders. Alle Angaben waren in Zentimetern, also erhalten wir die Grundfläche in Quadratzentimeter, und zwar 10 mal 8, also 80 Quadratzentimeter. Die Formel für die Berechnung der Grundfläche eines Quaders lautet also:
Grundfläche = Länge · Höhe. Die Grundfläche besteht also aus einer Schicht von 80 Einheitswürfeln. Um den gesamten Quader auszufüllen, brauchen wir 6 solcher Schichten, denn jede Schicht
ist 1 cm hoch und die Höhe des Quaders beträgt 6 cm. Wenn jede Schicht aus 80 Würfeln besteht und der Quader 6 solche Schichten fassen kann, so ist die Gesamtzahl der Würfel $80 \cdot 6 = 480$. Da alle Angaben in Zentimetern vorliegen, beträgt der Rauminhalt des Quaders somit 480 Quadratzentimeter.

Die Darstellung mit den Einheitswürfeln dient zur Veranschaulichung der Berechnung. Sich merken und anwenden können müssen Sie nur die folgenden Formeln:
$A_{Grundfläche} = Länge \cdot Höhe$
$V_{Quader} = Länge \cdot Breite \cdot Höhe $

 

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