Betrag eines Vektors berechnen

Der Betrag eines Vektors ist nichts anderes die Länge eines Vektors. Lerne hier in knapp 3 Minuten, wie du die Länge eines Vektors mithilfe der Längenformel berechnest.
Die Formel für den Betrag eines Vektors ist eine dreidimensionale Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras aus der Mittelstufe. Dieser besagt, dass in einem Rechteck mit Seitenlängen $a$ und $b$ die Diagonale $c$ über $c^2=a^2+b^2$ berechnet werden kann, d. h. es gilt $c=\sqrt{a^2+b^2}$. Ersetzen wir das Rechteck durch einen Quader im dreidimensionalen Raum, so gibt es drei Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ und für die Raumdiagonale $d$ gilt $d^2=a^2+b^2+c^2$, also $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Die Formel für die Länge eines Vektors mit Komponenten $x$, $y$ $z$ lautet
$\displaystyle\left|\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Sehen wir uns eine Beispiel-Aufgabe zum Thema Betrag eines Vektors an:
Gegeben ist der Vektor $\displaystyle\vec{v}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 5 \end{array}\right)$
Berechne die Länge von $\vec{v}$.

$\begin{align*}
|\vec{v}|&=\left|\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\5 \end{array}\right)\right|\\
&=\sqrt{(-3)^2+4^2+5^2}\\
&=\sqrt{9+16+25}\\
&=\sqrt{50}\\
&=\sqrt{25\cdot 2}\\
&=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}\\
&=5\sqrt 2
\end{align*}$

Die Vereinfachung des Wurzelausdrucks wird in der Aufgabe nicht verlangt, d. h. du kannst als Lösung auch $|\vec{v}|=\sqrt{50}$ angeben. Spätere Berechnungen können aber deutlich einfacher ausfallen, wenn große Wurzelausdrücke vermieden werden.

Lösung: Der vorgegebene Vektor hat die Länge $|\vec{v}|=5\sqrt 2$.