Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse prüfen

Die stochastische Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit beschreibt das Verhältnis zwischen zwei Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeit vom Eintreten des jeweils anderen Ereignisses abhängt
bzw. nicht abhängt. Anders formuliert: $A$ und $B$ sind stochastisch abhängig, wenn das Eintreten von $B$ die Wahrscheinlichkeit von $A$ beeinflusst.

Beispielaufgabe

Ein Laplace-Würfel wird einmal geworfen. Beurteile die stochastische Abhängigkeit der folgenden Ereignisse:
$A$: Die gewürfelte Zahl ist gerade.
$B$: Die gewürfelte Zahl ist größer als 1.

Lösungsansatz

Im vorliegenden Fall kann man den Begriff wie folgt konkretisieren:
$A$ und $B$ sind stochastisch abhängig, wenn die Kenntnis, dass mindestens eine 2 gewürfelt wurde, einen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit hat, dass die Zahl gerade ist.

Mathematisch präziser wäre folgende Definition:
$A$ und $B$ sind stochastisch abhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ ungleich der Wahrscheinlichkeit von $A$ ohne Voraussetzung von $B$ ist. Das heißt:
$P(A|B) = P(A)$.

Diese hat aber den Nachteil, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit nur für den Fall definiert ist, dass die Bedingung eine positive Wahrscheinlichkeit hat. Außerdem werden Gleichungen
in Definitionen gegenüber Ungleichungen bevorzugt, so dass man statt der stochastischen Abhängigkeit lieber die Unabhängigkeit definiert. Daher hat sich folgende Definition etabliert:

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt:
$P(\mathbf{A}\cap\mathbf{B})=P(\mathbf{A})\cdot P(\mathbf{B})$.

Ansonsten sind sie stochastisch abhängig.

Mit dieser Formel kann man also ganz einfach stochastische Unabhängigkeit prüfen, auch ohne im Detail die Abhängigkeiten der Wahrscheinlichkeiten von $A$ und $B$ zu analysieren.
Man braucht stattdessen nur die Wahrscheinlichkeiten
$P(\mathbf{A})$, $P(\mathbf{B})$ und $P(\mathbf{A}\cap\mathbf{B})$.

Eine kurze Rechnung zeigt, dass diese Definition im Falle $P(\mathbf{B})>0$ mit der Definition über die bedingte Wahrscheinlichkeit übereinstimmt:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ ⇔ $\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A)$ ⇔ $P(A|B)=P(A)$.

Schritt 1: Wahrscheinlichkeiten berechnen

Um die Formel für die stochastische Unabhängigkeit anzuwenden, brauchen wir die Wahrscheinlichkeiten $P(\mathbf{A})$, $P(\mathbf{B})$ und $P(\mathbf{A}\cap\mathbf{B})$:
Das Ereignis $A$ beinhaltet die Ergebnisse 2, 4 und 6, also 3 von insgesamt 6 möglichen Würfelergebnissen. Nach der Formel von Laplace ist also $P(\mathbf{A})=\frac 36=\frac 12$.

Das Ereignis $B$ beinhaltet die Ergebnisse 2, 3, 4, 5 und 6, also 5 von insgesamt 6 möglichen Würfelergebnissen. Nach der Formel von Laplace ist also $P(\mathbf{B})=\frac 56$.

Das Ereignis $\mathbf{A}\cap\mathbf{B}$ beinhaltet die Ergebnisse 2, 4 und 6, also 3 von insgesamt 6 möglichen Würfelergebnissen. Nach der Formel von Laplace ist also $P(\mathbf{A}\cap\mathbf{B})=\frac 36=\frac 12$.

Schritt 2: Gleichung für stochastische Unabhängigkeit prüfen

$A$ und $B$ sind genau dann stochastisch unabhängig, $P(\mathbf{A}\cap\mathbf{B})=P(\mathbf{A})\cdot P(\mathbf{B})$ ist. Im vorliegenden Fall ist nach Schritt 1

$P(\mathbf{A}\cap\mathbf{B})=\frac 12$ sowie $P(\mathbf{A})=\frac 12$ und $P(\mathbf{B})=\frac 56$, also ist die rechte Seite $P(\mathbf{A})\cdot P(\mathbf{B})=\frac 12\cdot\frac 56=\frac 5{12}$.

Es ist $\frac 12\neq\frac 56$, also in unserem Fall $P(\mathbf{A}\cap\mathbf{B})\neq P(\mathbf{A})\cdot P(\mathbf{B})$, d. h. die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch abhängig.

Bemerkung:

Bei dieser Aufgabe ist die Situation einfach genug, dass man sich die stochastische Abhängigkeit auch anhand der anschaulichen Definition klar machen kann: Die Wahrscheinlichkeit
von $A$ (gerade Zahl) ist $\frac12$ , wenn $B$ (Zahl > 1) nicht vorausgesetzt wird.

Wenn aber $B$ eintritt, dann kommen nur noch die Zahlen 1 bis 5 in Frage, von denen drei (nämlich 2, 4 und 6) gerade sind, d. h. die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der
Bedingung $B$ ist $\frac35$, also nicht mehr $\frac12$. Daher sind $A$ und $B$ stochastisch abhängig.

Lösung

$A$ und $B$ sind stochastisch abhängig.